Matematik dersinde ilk konu benim olsun!

DÖRTGENLER
Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir. A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir. ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC]köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)
*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.
m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600
*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.
m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=3600
*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X= ‘dir.
*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır.
*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise
*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür.
*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir.
*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.
İSPAT: ADC üçgeninde [AC]2 =[DA]2 + [DC]2
ABC üçgeninde [AC]2 =[AB]2 + [BC]2
Buradan;
[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.
*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.

İSPAT: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2 DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa
[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)
AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2 BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak
[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)(1) ve (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;
[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2
*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır.

İSPAT: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC] nin orta noktalarıdır.
CAB üçgeninde EH // BC CDB üçgeninde GF // BC ise EF // GF (1)
DAC üçgeninde GH // DA DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)
(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.
*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);
[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir.

İSPAT: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak
[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

Not: P noktası köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise
‘dir.
İSPAT: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.
ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre (1)
DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre (2)
(1) ve (2)’den 2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2 (3)
FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre ’dir. Buradan 4x2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir. 2(m2+n2) yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4x2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur. Buradan da bulunur.
PARALEL KENAR
Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir.
[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]
Özellikleri: 1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]
2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)
3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.
m(A)+m(B)=180, m(B)+m(C)=180, m(C)+m(D)=180, m(D)+m(A)=180
4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC], [BO]=[OD]’dir.
5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.
A(OAB)=A(OBC)=A(OCD)=A(ODA)=
*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB’ nin alanı ABCD alanının yarısıdır.
İSPAT: P den BC ye bir paralel çizelim. PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur. A(PEB)=A(PBC) (1) ,
DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP) (2).
(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplayalım. A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP) A(PAB)=A(PBC)+A(DAP) Buradan da bulunur.
*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]’dir.
İSPAT: AKF ile CKB üçgenleri benzerdir. (1)
Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir. (2)
[AF]=[CE] idi . Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur. [AK]=[CL] bulunur. Böylece (1) ve (2)’den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir.

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise
e2+f2 = 2(a2+b2) ‘dir.
İSPAT: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım.
’dir. ve Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur.
*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır.
ABCD bir paralel kenar, [AA’]=[BB’]=[CC’]=[DD’] ise A’B’C’D’ bir paralel kenardır.
İSPAT: AA’B’ üçgeniyle CC’D’ üçgenleri benzerdir.(A.K.A) dan [A’B’]=[C’D’] olur. CBB’ ile de A’DD’ benzerdir. Buradan da [A’D’]=[C’B’] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir. Bu da paralel kenardır.
*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır.
İSPAT: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir.(K.A.K)
Buradan da [HE]=[FG] ve de [EF]=[GH] elde edilir. Bu durum da EFGH bir paralel kenardır.
*(Şek.19)’ta ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF].[EG]’dir.
İSPAT: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir. Buradan (1) EAG ile de ECD benzerdir. (2)
(1) ve (2)den olur. Buradan da [DE]2=[FE].[EG] elde edilir.
*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [BE]=[EC] ve [DF]=[FC] ise A(AECF)= dir.
İSPAT: A(AEC)= A(ACF)= toplarsak A(ACEF)= bulunur.
İSPAT: A(FAEC)= A(FAE)= taraf tarafa çıkarırsak A(FEC)= bulunur.

DİKDÖRTGEN
Tanım: Her bir açısının ölçüsü 900 olan dörtgendir.
*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.
*Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
*Kenar uzunlukları a ve b köşegen uzunluğu da e ise e= dir.
*Bir dikdörtgenin iç bölgesindeki bir nokta P ise [PA]2+[PC]2=[PB]2+[PD]2
İSPAT: LK // BC çizelim. [PL]2=[PC]2-[LC]2 (1) [PL]2=[PD]2-[DL]2 (2)
[PK]2=[PB]2-[KB]2 (3) [PK]2=[PA]2-[AK]2 (4)
(1) ve (2)den [PC]2-[LC]2 = [PD]2-[DL]2
(3) ve (4)ten [PA]2-[AK]2 =[PB]2-[KB]2 taraf tarafa toplanırsa
[PC]2+[PA]2-[LC]2-[AK]2=[PB]2+[PD]2-[DL]2-[KB]2 [KB]=[LC] ve [KA]=[LD] olduğundan
[PA]2+[PC]2=[PB]2+[PD]2 bulunur.

EŞKENAR DÖRTGEN
Kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir.
*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.
*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar. [AC][BD] [AO]=[OC] ve [BO]=[OD]’dir.
*Köşegen uzunlukları [AC]=e [BD]=f ise A(ABCD)= dir.
*Köşegenler açıortaydır.
*e2+f2 = 4a2 dir.
*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır.
*Çevresi 4a’dır.
*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır.
[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h ([HF]=[GE]=h )
KARE
Kenar uzunlukları eş olan bir dikdörtgen veya açı ölçüleri eş olan bir eşkenar dörtgendir.
*Tanımdan da anlaşılacağı üzere dikdörtgen ile eşkenar dörtgenin bütün özelliklerini taşır.
[AC]=[BD] =e = a A(ABCD) = a2 =
*Karenin köşegen uzunlukları eşittir.
*Köşegenler birbirlerini dik olarak ortalarlar.
*Köşegenler açıortaydır. Bir karenin kenarlarının orta noktaları yine bir karenin köşeleridir. Bu karenin alanı ilk karenin alanının yarısıdır.
YAMUK

Tanım: İki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel olan kenarlar yamuğun tabanları diğer iki kenarlarına da yan kenarları denir. (Şek.27)
*Bir yamukta yan kenarlardan birine bitişik açılar birbirlerini bütünler.
m(A) + m(D) = m(B) + m(C) = 1800
*Yamuğun çevresi Ç= a+b+c+d
Yamuğun alanı A=

İkizkenar Yamuk: Yan kenar uzunlukları birbirlerine eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.
*Bir ikizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri eşittir. m(A) = m(B) , m(C)=m(D)
*İkizkenar yamuğun köşegen uzunlukları eşittir. [AC]=[BD]
*İkizkenar yamukta karşılıklı açılar birbirlerini bütünler. m(A)+m(C)=m(B)+m(D)=1800
*İkizkenar yamukta köşegenler birbirine dikse yükseklik orta taban uzunluğuna eşittir.


Dik Yamuk: Yan kenarlarından biri tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.
AB // DC ve AB
*Bir dik yamukta köşegenler birbirine dikse dik yan kenarın karesi, tabanlar çarpımına eşittir.
İSPAT: BDAC den d2+b2=a2+c2 köşegenleri dik olan bir dörtgende, karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. CEAB çizersek b2=d2+ (a-c)2dir.(Pisagordan).Yukarıdaki eşitlikte b2 yerine bu değeri yazarsak d2+d2+(a-c)2=a2+c2 = d2+d2+a2-2ac+c2=a2+c2= 2d2=2ac Buradan da d2=ac bulunur.
*Herhangi bir ABCD yamuğunda AB // DC [DE]=[EA] ve [CF]=[FB] ise [KL]= ‘dir.
İSPAT: DAB üçgeninde [EL]= (Bir üçgende iki kenarın ortasını birleştiren doğru üçüncü kenar uzunluğunun yarısına eşittir.)Aynı şekilde DAC üçgeninde [EK]= dir.
Taraf tarafa çıkarırsak [EL]-[EK]= .Yani [KL]= elde edilir.
*Herhangi bir ABCD yamuğunda AB // CD [DE]=[EA] ise dir.
İSPAT: EF // AB çizelim. EF orta taban olur.
A(CEF)= A(EBF)= A(CEF)+A(EBF)= 2.[EF]. ve de A(CEB)= [EF].x olur.
A(ABCD)= A(ABCD)= [EF].2x Buradan
elde edilir.

* ABCD yamuğunda (AB // DC)
1)S1=S3
İSPAT: A(DAC)=S1+S4 A(DBC)=S3+S4
A(ADC)=A(DBC) dir. Çünkü taban ve yükseklikleri aynı olan üçgenlerdir. Böylece
S1+S4 =S2+S3 den S1=S3 bulunur.
2)A(ABCD)= S ise dir.
İSPAT: S1=S3=x ise x2 = S2S4
A(ABCD)= S2+2x+S4 = S2+ +S4 = ve de bulunur.




.|||ιѕкσяριтχ|||мєтℓαк|||gαѕ|||ωαя10¢к!|||.

bizim konumuz

evet

85 almıştık

evet